BẤT ĐẲNG THỨC



Mở đầu

Trước khi nghiên cứu về bất đẳng thức, ta cần nhắc lại định nghĩa, cũng như những tính chất cơ bản của nó.

Định nghĩa:

+ a nhỏ hơn b, kí hiệu là a < b nếu a − b < 0
+ a lớn hơn b, kí hiệu là a > b nếu a − b > 0
+ a nhỏ hơn hoặc bằng b (a không lớn hơn b), kí hiệu là a ( b nếu a − b ( 0
+ a lớn hơn hoặc bằng b (a không nhỏ hơn b), kí hiệu là a ( b nếu a − b ( 0
Ta gọi mỗi hệ thức dạng a < b, a > b, a ( b, a ( b là một bất đẳng thức. Trong đó, a gọi là vế trái (VT), b gọi là vế phải (VP) của bất đẳng thức.

Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức:
+ a > b ( b < a
+ a > b, b > c ( a > c
+ a > b ( a + c > b + c
+ a > b, c > d ( a + c > b + d
a > b, c < d ( a − c > b − d
+ a > b, c > 0 ( ac > bc
a > b, c < 0 ( ac < bc
+ a > b ( 0, c > d ( 0 ( ac > bd
+ a > b > 0 ( a > b
a > b ( a > b (n lẻ)
|a| > |b| ( a > b (n chẵn)
+ a > b, ab > 0 (  < 

MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN
A ( 0 với (A. Dấu “=” xảy ra ( A = 0
|A| ( A với (A. Dấu “=” xảy ra ( A ( 0
a + b + c ( ab + bc + ca ( a + b ( 2ab ( (a + b) ( 4ab
( (
3(a + b + c) ( (a + b + c) ((a, b, c)  +  (  (a, b > 0)
Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (Bất đẳng thức AM-GM)
Bất đẳng thức Cauchy (Bất đẳng thức Bunyakovsky hay bất đẳng thức Cauchy - Bunyakovsky - Schwarz (viết tắt là BCS), bất đẳng thức Schwarz hoặc bất đẳng thức Cauchy - Schwarz)




A. KIÊN THỨC CẦN NHỚ


I. PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA

Để chứng minh a < b (hoặc a > b hoặc a ( b hoặc a ( b), ta cần chứng minh a − b < 0. Ta xét một số ví dụ sau đây.


VÍ DỤ 1. Chứng minh a + b + c ( ab + bc + ca với mọi a, b, c.

Giải: Xét hiệu:
A = (a + b + c) − (ab + bc + ca)
=  (a − 2ab + b) + (b − 2bc + c) + (c − 2ca + a)
=  (a − b) + (b − c) + (c − a) ( 0 (a, b, c.
Vì A ( 0 nên a + b + c ( ab + bc + ca
Dấu “=” xảy ra ( a = b = c.


VÍ DỤ 2. Cho các biểu thức sau:
A = (a + b)(a + b)
và B = (a + b)(a + b) với a, b ( 0
So sánh A và B.

Giải: Xét hiệu
A − B = (a + b)(a + b) − (a + b)(a + b)
= (a + b + ab + ab) − (a + b + ab + ab)
= ab − ab − ab + ab
= ab(a − b) − ab(a − b)
= ab(a − b)(a − b)
= ab(a + b)(a − b) ( 0 vì a, b ( 0
Do đó A ( B.
Dấu “=” xảy ra ( a = 0 hoặc b = 0 hoặc a = b.


VÍ DỤ 3. Chứng minh rằng bất đẳng